Giải bài 4.13 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^1 {{{left( {1 - 2x} right)}^2}dx} ); b) (intlimits_1^4 {frac{{x - 2}}{{sqrt x }}dx} ).
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx} \);
b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Tìm nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân sau đó tính tích phân theo định nghĩa.
Ý b: Tìm nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân sau đó tính tích phân theo định nghĩa.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {dx} - 4\int\limits_0^1 {xdx + 4\int\limits_0^1 {{x^2}dx} } \)
\( = \left. x \right|_0^1 - 4\left. { \cdot \frac{{{x^2}}}{2}x} \right|_0^1 + 4 \cdot \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = 1 - 2\left( {1 - 0} \right) + \frac{4}{3}\left( {1 - 0} \right) = 1 - 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}\).
b) Ta có \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)dx} = \int\limits_1^4 {\sqrt x dx} - 2\int\limits_1^4 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \) \( = \left. {\frac{{x\sqrt x }}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}}} \right|_1^4 - 2 \cdot 2\left. {\sqrt x } \right|_1^4\)
\( = \frac{2}{3}\left( {4\sqrt 4 - 1} \right) - 4\left( {\sqrt 4 - 1} \right) = \frac{{14}}{3} - 4 = \frac{2}{3}\).