Giải bài 4.57 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)
B. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\)
C. \({a^2}\)
D. \( - {a^2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ = - \frac{1}{9}.9{a^2} + \frac{2}{9}.9{a^2} - \frac{1}{9}.9{a^2}.\cos {60^ \circ }\\ = - {a^2} + 2{a^2} - {a^2}.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)
Chọn A.