Giải bài 4. 60 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy các điểm $M,\,\,N,$ không trùng với $B$ và $C$ sao cho $BM = MN = NC.$

a) Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $AMN$ có cùng trọng tâm.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Đặt $\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow v .$ hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v :\,\,\overrightarrow {GA} ,\,\,\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} .$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow$ hai tam giác $ABC$ và $AMN$ có cùng trọng tâm.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Đặt $\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow v .$

Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {GA}  =  - \overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow u  - \overrightarrow v  =  - \left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)$

Ta có: $\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BM}$

$= \overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

$\begin{array}{l} = \overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GB} } \right)\\ = \frac{2}{3}\overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {GC}  = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CN}$

$\begin{array}{l} = \overrightarrow {GC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {GC}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right)\\ = \frac{1}{3}\overrightarrow {GB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {GC}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow u  + 2\overrightarrow v } \right)\end{array}$