Giải bài 4. 61 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4,\,\,AC = 5$ và $\widehat {CAB} = {60^ \circ }.$

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .$

b) Lấy các điểm $M,\,\,N$ thỏa mãn $2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \,\,\left( {x \ne  - 1} \right).$ Xác định $x$ sao cho $AN$ vuông góc với $BM.$

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {CAB} = 4.5.\cos {60^ \circ } = 10$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - {\overrightarrow {AB} ^2} = 10 - {4^2} =  - 6$

b)     Ta có: $2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ $2\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BM} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {BM}  =  - 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {AB}  + 3\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) =  - \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}$     (1)

Ta có: $\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ $\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AN} } \right) + x\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ $\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC}$            (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC} } \right)$

$\Leftrightarrow$ $\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  =  - {\overrightarrow {AB} ^2} + 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + 3x{\overrightarrow {AC} ^2}$

$\Leftrightarrow$ $\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  =  - 16 + 3.10 - x.10 + 3x.25 = 65x + 14$

Để $AN \bot BM$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  = 0$

$\Leftrightarrow$ $65x + 14 = 0$ $\Leftrightarrow$ $x =  - \frac{{14}}{{64}}$ (thỏa mãn)

Vậy $x =  - \frac{{14}}{{64}}$ thì $AN \bot BM$