Giải bài 4 trang 54 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình thang $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ có $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm hai cạnh bên $AD$ và $BC$. Gọi $K$là giao điểm của $AF$ và $DC$ (Hình 12).

a) Tam giác $FBA$ và tam giác $FCK$ có bằng nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh: $EF//CD//AB$.

c) Chứng minh $EF = \frac{{AB + CD}}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $K$là giao điểm của $AF$ và $DC$ nên $K \in CD$.

Vì $ABCD$ là hình thang nên $AB//CD \Rightarrow AB//CK$.

Xét tam giác $ABF$ có $CK//AB$ ta có:

$\frac{{FA}}{{FK}} = \frac{{FB}}{{FC}}$ (hệ quả của định lí Thales)

Mà $F$ lần lượt là trung điểm $BC$ nên $\frac{{FB}}{{FC}} = 1 \Rightarrow \frac{{FA}}{{FK}} = 1 \Rightarrow FA = FK$

Xét tam giác $ABF$ và tam giác $KCF$ có:

$FB = FC$ (chứng minh trên)

$FK = FA$ (chứng minh trên)

$\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}$

Do đó, tam giác $ABF$ bằng tam giác $KCF$ (c – g – c).

b) Vì $E$ là trung điểm của $AD$;$F$ là trung điểm của $BC$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ADK$.

Do đó, $EF//DK$ (tính chất)$\Rightarrow EF//DC$

Mà $AB//CD \Rightarrow EF//AB//CD$ (điều phải chứng minh).

c) Vì $EF$ là đường trung bình của tam giác $ADK$ nên $EF = \frac{1}{2}DK$.

Tam giác $ABF$ bằng tam giác $KCF$ nên $AB = CK$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: $DK = DC + CK \Rightarrow DK = DC + AB$.

Do đó, $$EF = \frac{1}{2}DK = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right) = \frac{{DC + AB}}{2}$$ (điều phải chứng minh).