Giải bài 4 trang 57 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3cm,AC = 4cm.$ Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Tính $BC,BD,DC$.

b) Vẽ đường cao $AH$. Tính $AH,HD$ và $AD$.

Lời giải chi tiết

a)

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$\Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}$

$\Leftrightarrow B{C^2} = 25$

$\Rightarrow BC = 5cm$

Ta có: $BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 5 - BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{5 - BD}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4.BD = 3.\left( {5 - BD} \right) \Rightarrow 4.BD = 15 - 3.BD$

$\Leftrightarrow 4BD + 3BD = 15 \Leftrightarrow 7BD = 15 \Rightarrow BD = \frac{{15}}{7}$

$\Rightarrow DC = 5 - \frac{{15}}{7} = \frac{{20}}{7}$

Vậy $BC = 5cm;BD = \frac{{15}}{7}cm;DC = \frac{{20}}{7}cm$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)$

Mặt khác ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AH.5 = 6$

$\Rightarrow AH = \frac{{6.2}}{5} = 2,4cm$.

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}$

$\Leftrightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}$

$\Leftrightarrow H{B^2} = {3^2} - 2,{4^2}$

$\Leftrightarrow H{B^2} = 3,24$

$\Rightarrow HB = 1,8cm$

$HD = BD - BH = \frac{{15}}{7} - 1,8 = \frac{{12}}{7}cm$.

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H^2} + H{D^2} = A{D^2}$

$\Leftrightarrow A{D^2} = {\left( {\frac{{12}}{7}} \right)^2} + 2,{4^2}$

$\Leftrightarrow A{D^2} = \frac{{144}}{{49}} + \frac{{144}}{{25}}$

$\Rightarrow AD \approx 2,95cm$

Vậy $AH = 2,4cm;HD = \frac{{12}}{7}cm;AD = 2,95cm$.