Giải bài 4 trang 96 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Bảng sau thống kê lương tháng của các nhân viên ở hai doanh nghiệp A và B. a) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng biến thiên. b) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng tử phân vị. c) Biết rằng có 1 nhân viên ở doanh nghiệp A có lương tháng là 27 triệu đồng. Lương tháng của nhân viên này có phải là một giá trị ngoại lệ không? Tại sao?
Đề bài
Bảng sau thống kê lương tháng của các nhân viên ở hai doanh nghiệp A và B.
a) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng biến thiên.
b) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng tử phân vị.
c) Biết rằng có 1 nhân viên ở doanh nghiệp A có lương tháng là 27 triệu đồng. Lương tháng của nhân viên này có phải là một giá trị ngoại lệ không? Tại sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
trong đó:
• \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu;
• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).
‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}\).
‒ Nếu \({Q_3} + 1,5\Delta Q < a\) thì giá trị \(a\) là giá trị ngoại lệ.
Lời giải chi tiết
a) Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp A là: \({R_A} = 30 - 5 = 25\) (triệu đồng).
Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp B là: \({R_B} = 25 - 10 = 15\) (triệu đồng).
Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì mức lương ở doanh nghiệp A phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp B.
b) • Độ phân tán của mức lương ở doanh nghiệp A:
\({n_A} = 2 + 5 + 32 + 8 + 1 = 48\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{48}}\) là mẫu số liệu gốc gồm mức lương của 48 nhân viên ở doanh nghiệp A theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{12}} + {x_{13}}} \right) \in \left[ {15;20} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{A1}} = 15 + \frac{{\frac{{1.48}}{4} - \left( {2 + 5} \right)}}{{32}}\left( {20 - 15} \right) = \frac{{505}}{{32}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{36}} + {x_{37}}} \right) \in \left[ {15;20} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{A3}} = 15 + \frac{{\frac{{3.48}}{4} - \left( {2 + 5} \right)}}{{32}}\left( {20 - 15} \right) = \frac{{625}}{{32}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_A} = {Q_{A3}} - {Q_{A1}} = \frac{{625}}{{32}} - \frac{{505}}{{32}} = \frac{{15}}{4} = 3,75\) (triệu đồng).
• Độ phân tán của mức lương ở doanh nghiệp B:
\({n_B} = 20 + 25 + 20 = 65\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{65}}\) là mẫu số liệu gốc gồm mức lương của 65 nhân viên ở doanh nghiệp B theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{17}} \in \left[ {10;15} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{B1}} = 10 + \frac{{\frac{{1.65}}{4} - 0}}{{20}}\left( {15 - 10} \right) = \frac{{225}}{{16}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{49}} \in \left[ {20;25} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{B3}} = 20 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - \left( {20 + 25} \right)}}{{20}}\left( {25 - 20} \right) = \frac{{335}}{{16}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_B} = {Q_{B3}} - {Q_{B1}} = \frac{{335}}{{16}} - \frac{{225}}{{16}} = \frac{{55}}{8} = 6,875\) (triệu đồng).
Do đó, nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì mức lương ở doanh nghiệp B phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp A.
c) Với số liệu ghép nhóm của doanh nghiệp A, ta có
\({Q_{A3}} + 1,5\Delta {Q_A} = \frac{{625}}{{32}} + 1,5.\frac{{15}}{4} = \frac{{805}}{{32}} = 25,15625 < 27\).
Do đó lương tháng 27 triệu đồng của nhân viên đó là giá trị ngoại lệ.