Giải bài 5 trang 9 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Biết rằng đồ thị của hàm số (y = fleft( x right)) đi qua điểm (left( {1;2} right)) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (left( {x;fleft( x right)} right)) là (frac{{1 - x}}{{{x^2}}}) với (x > 0). Tìm hàm số (fleft( x right)).
Đề bài
Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;2} \right)\) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm \(\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) là \(\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}\) với \(x > 0\). Tìm hàm số \(f\left( x \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức:
• \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
• \(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\).
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{{x^2}}}\) với \(x > 0\) và \(f\left( 1 \right) = 2\).
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {{x^{ - 2}} - \frac{1}{x}} \right)dx} = - \frac{1}{x} - \ln {\rm{x}} + C\\f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{1} - \ln 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 3\end{array}\)
Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{1}{x} - \ln {\rm{x}} + 3\).