Giải Bài 40 trang 81 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho Hình 32 có (widehat {BAC} = 90^circ ), AH vuông góc với BC tại H, (widehat {xAB} = widehat {BAH}) , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:
Đề bài
Cho Hình 32 có ^BAC=90∘ , AH vuông góc với BC tại H, ^xAB=^BAH , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) AC là tia phân giác của góc Hay;
b) BD + CE = BC;
c) DH vuông góc với HE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh ^CAH=^CAy suy ra AC là tía phân giác của ^HAy.
- Chứng minh: ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BD = BA
Tương tự chứng minh: CH = CE
Từ đó: BC = BH + CH
Mà BD = BH, CE = CH.
Do đó BC = BD + CE.
- Gọi I là giao điểm của AB và DH
Chứng minh ∆ADI = ∆AHI (c.g.c) suy ra ^ADI=^AHI
Tương tự chứng minh: ^AHE=^AEH
Tính số đo góc HDE bằng 90o nên DH vuông góc với HE
Lời giải chi tiết
a) •Ta có ^xAy=^xAB+^BAC+^CAy
Hay 180∘=^xAB+90∘+^CAy
Suy ra ^CAy=90∘−^xAB
•Ta có ^BAH+^CAH=^BAC=90∘
Nên ^CAH=90∘−^BAH
Mà ^xAB=^BAH (giả thiết)
Suy ra ^CAH=^CAy
Do đó AC là tia phân giác của ^HAy
Vậy AC là tia phân giác của ^HAy .
b) • Xét ∆ABD và ∆ABH có:
^ADB=^AHB(=90∘)
AB là cạnh chung,
^DAB=^HAB (giả thiết),
Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).
• Xét ∆ACE và ∆ACH có:
^AEC=^AHC(=90∘)
AC là cạnh chung,
^CAH=^CAE (chứng minh câu a),
Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).
•Ta có BC = BH + CH
Mà BD = BH, CE = CH.
Do đó BC = BD + CE.
Vậy BC = BD + CE.
c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.
• Xét ∆ADI và ∆AHI có:
AD = AH (chứng minh câu b),
^DAI=^HAI (do ^xAB=^BAH),
AI là cạnh chung.
Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).
Suy ra ^ADI=^AHI (hai góc tương ứng).
Hay ^ADH=^AHD.
• Xét ∆AHK và ∆AEK có:
AH = AE (chứng minh câu b),
^HAK=^EAK (do ^HAC=^EAC),
AK là cạnh chung
Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)
Suy ra ^AHK=^AEK (hai góc tương ứng).
Hay ^AHE=^AEH.
Xét ∆ADH có: ^ADH+^AHD+^HAD=180∘ (tổng ba góc của một tam giác).
Mà ^ADH=^AHD nên ^AHD=180∘−^HAD2
Xét ∆AEH có: ^AEH+^AHE+^HAE=180∘ (tổng ba góc của một tam giác)
Mà ^AHE=^AEH nên ^AHE=180∘−^HAE2
Ta có
^DHE=^AHD+^AHE=180∘−^HAD2+180∘−^HAE2=360o−(^HAD+^HAE)2=360o−180o2=90o
Suy ra DH vuông góc với HE.
Vậy DH vuông góc với HE.