Giải bài 41 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S ₁ là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S ₂ là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S ₃ là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S ₁ + S ₂ = S _3.

Lời giải chi tiết

Vì AB tiếp xúc với (O;R) tại M nên AB là tiếp tuyến của (O;R), do đó $OC \bot AB$ tại M hay $\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = 90^\circ$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMO vuông tại M có $AM = \sqrt {A{O^2} - M{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3$

Ta lại có $\cos \widehat {AOM} = \frac{{OM}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {AOM} = 60^\circ$.

Xét tam giác OAM và tam giác OBM có:

$OA = OB\left( { = 2R} \right)$;

OM chung;

$\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = 90^\circ$

Suy ra $\Delta OAM = \Delta OBM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó $AM = BM = \frac{{AB}}{2}$ và $\widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}$

Suy ra $AB = 2AM = 2R\sqrt 3$ và $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ  = 120^\circ$.

Do AM, AN là 2 tiếp tuyến của (O;R) nên $\widehat {AOM} = \widehat {AON} = \frac{{\widehat {MON}}}{2}$ hay $\widehat {MON} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ  = 120^\circ$.

Xét tam giác OMA và tam giác ONA có:

OA chung;

$OM = ON\left( { = R} \right)$;

$AM = AN$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $\Delta OAM = \Delta OAN$(c.c.c), nên ${S_{\Delta OAM}} = {S_{\Delta OAN}}$

Ta có: S ₁ = diện tích quạt tròn AOB – diện tích $\Delta OAB$

Hay ${S_1} = \frac{{\pi {{\left( {2R} \right)}^2}n}}{{360}} - \frac{{OM.AB}}{2}$$= \frac{{\pi 4{R^2}.120}}{{360}} - \frac{{R.2R\sqrt 3 }}{2}$$= {R^2}\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right)$

S ₂ = diện tích $\Delta OAM$ + diện tích tam giác $\Delta OAN$ - diện tích quạt tròn OMN

Hay S ₂ = 2. diện tích $\Delta OAM$ - diện tích quạt tròn OMN

Do đó ${S_2} = 2.\frac{{AM.OM}}{2} - \frac{{\pi {R^2}.n}}{{360}}$$= 2.\frac{{R\sqrt 3 .R}}{2} - \frac{{\pi {R^2}.120^\circ }}{{360}}$$= {R^2}\left( {\sqrt 3  - \frac{\pi }{3}} \right)$

S ₃ = diện tích hình tròn (O;R) $= \pi {R^2}$

Ta có ${S_1} + {S_2} = {R^2}\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right) + {R^2}\left( {\sqrt 3  - \frac{\pi }{3}} \right) = \pi {R^2} = {S_3}$ (đpcm)