Giải bài 42 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho ^MAP=60∘ (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.
Đề bài
Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho ^MAP=60∘ (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Độ dài dây curoa = độ dài cung lớn MP + độ dài cung nhỏ NQ + MN + PQ
Bước 1: Áp dụng lý thuyết về tổng 4 góc trong tứ giác để tính số đo góc MOP và góc NO’Q, từ đó suy ra số đo cung lớn MP và cung nhỏ NQ.
Bước 2: Áp dụng công thức l=πRn180 để tính độ dài 2 cung trên.
Bước 3: Chứng minh MN=PQ, tính MN=AM−AN=OM.cot^OAM−O′N.cot^OAM.
Lời giải chi tiết
Do AM, AP là tiếp tuyến của (O) nên MA=PA và OM⊥MA,OP⊥PA, do đó ˆM=ˆP=90∘ và AO là tia phân giác của góc MAP nên ^MAO=^PAO=^MAP2=60∘2=30∘
Do AN, AQ là tiếp tuyến của (O’) nên NA=QA và O′N⊥NA,O′Q⊥QA, do đó ^O′NA=^O′QA=90∘ và AO’ là tia phân giác của góc NAQ nên ^NAO′=^QAO′=^NAQ2=60∘2=30∘
Xét tứ giác OMAP có ^MOP+ˆM+^MAP+ˆP=360∘ nên ^MOP=360∘−(ˆM+^MAP+ˆP)=360∘−(90∘+60∘+90∘)=120∘, suy ra số đo cung nhỏ MP là 120⁰
Số đo cung lớn MP là 360∘−120∘=240∘ và có độ dài là l1=π.4a.240180=16πa3
Xét tứ giác O’NAQ có ^NO′Q+^O′NA+^O′QA+^NAQ=360∘ nên ^NO′Q=360∘−(^O′NA+^O′QA+^NAQ) =360∘−(90∘+90∘+60∘)=120∘, suy ra số đo cung nhỏ NQ là 120⁰ và có độ dài là l2=π.a.120180=2πa3
Ta có: MN=MA−NA;PQ=PA−QA, mà MA=PA;NA=QA suy ra MN=PQ.
Xét tam giác OAM vuông tại M có:
MA=OM.cot^OAM=a.cot30∘=4a√3.
Xét tam giác O’AN vuông tại N có:
NA=ON.cotO′AN=a.cot30∘=a√3.
Ta có: MN=PQ=MA−NA=4a√3−a√3=3√3a
Độ dài dây Curoa mắc qua 2 ròng rọc là:
16πa3+2πa3+3√3a+3√3a=6a(π+√3).