Giải bài 45 trang 74 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho phương trình (2{x^2} + 2left( {m + 1} right)x - 3 = 0) a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi ({x_1},{x_2}) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}).
Đề bài
Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)
a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\Delta > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\).
b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).
Bước 2: Biến đổi A để xuất hiện \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).
Bước 3: Thay 2 hệ thức Viète vào biểu thức vừa tìm được rồi tính m.
Lời giải chi tiết
a) Phương trình có các hệ số \(a = 2;b = 2\left( {m + 1} \right);c = - 3\),
do đó \(b' = \frac{b}{2} = m + 1\)
Ta có \(\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2.\left( -3 \right)={{\left( m+1 \right)}^{2}}+6\). Do \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\); \(6 > 0\) nên \({\left( {m + 1} \right)^2} + 6 > 0\) với mọi \( m\).
Suy ra \(\Delta ' > 0\) với mọi \(m\).
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m nên áp dụng định lý Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} = - m - 1;{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\)
Ta lại có:
\(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} \\= {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}\)
Vì \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(A = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge - \frac{3}{2}\) với mọi \( m\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) hay \(m = - 1\).
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{3}{2}\) khi \(m = - 1\).