Giải bài 45 trang 74 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho phương trình $2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0$

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi ${x_1},{x_2}$ là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có các hệ số $a = 2;b = 2\left( {m + 1} \right);c =  - 3$,

do đó $b' = \frac{b}{2} = m + 1$

Ta có $\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2.\left( -3 \right)={{\left( m+1 \right)}^{2}}+6$. Do ${\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0$; $6 > 0$ nên ${\left( {m + 1} \right)^2} + 6 > 0$ với mọi $m$.

Suy ra $\Delta ' > 0$ với mọi $m$.

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m nên áp dụng định lý Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} =  - m - 1;{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}$

Ta lại có:

$A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} \\= {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}$

Vì ${\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0$ nên $A = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge  - \frac{3}{2}$ với mọi $m$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {m + 1} \right)^2} = 0$ hay $m =  - 1$.

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{3}{2}$ khi $m =  - 1$.