Giải bài 48 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho biểu thức $A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}$ với $x \ge 0,x \ne 1$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của biểu thức A tại $x = 121$.

c) Tìm giá trị của $x$ để $A = \frac{1}{2}$.

d) Tìm giá trị của $x$ để $A = \sqrt x  - 1$.

Lời giải chi tiết

a) $A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1 + x - 2\sqrt x  + 1 - 3\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{2x - 3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}$

Vậy $A = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}$ với $x \ge 0,x \ne 1$

b) Thay $x = 121$ (tmđk) vào A, ta được:

$A = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt {121}  - 1}}{{\sqrt {121}  + 1}} = \frac{{2.11 - 1}}{{11 + 1}} = \frac{7}{4}$

Vậy với $x = 121$ thì $A = \frac{7}{4}$.

c)  Để $A = \frac{1}{2}$ thì $\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{1}{2}$.

Giải phương trình trên:

$\begin{array}{l}\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{1}{2}\\2\left( {2\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  + 1\\4\sqrt x  - 2 = \sqrt x  + 1\\3\sqrt x  = 3\\\sqrt x  = 1\\x = 1\end{array}$

Ta thấy $x = 1$ không thỏa mãn điều kiện. Vậy không có giá trị nào thỏa mãn đề bài.

d) Để $A = \sqrt x  - 1$ thì $\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \sqrt x  - 1$

Giải phương trình trên:

$\begin{array}{l}\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \sqrt x  - 1\\2\sqrt x  - 1 = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1\,} \right)\\2\sqrt x  - 1 = x - 1\\x - 2\sqrt x  = 0\\\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) = 0\end{array}$

$\sqrt x  = 0$ hoặc $\sqrt x  - 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 4$

Ta thấy $x = 0,x = 4$ thỏa mãn điều kiện. Vậy $x = 0,x = 4$ là các giá trị cần tìm.