Giải bài 50 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho biểu thức $C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0,x \ne 1$.

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tìm giá trị lớn nhất của C.

c) Tìm giá trị của $x$ để C có giá trị là các số dương.

Lời giải chi tiết

a) $C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$= \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$= \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$\begin{array}{l} = \left( {\frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{x + \sqrt x  - 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - \sqrt x \left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\\ =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\end{array}$

Vậy $C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)$ với $x \ge 0,x \ne 1$.

b) $C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) =  - \left( {x - \sqrt x } \right)$

$=  - \left( {x - 2.\frac{1}{2}\sqrt x  + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} =  - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}$

Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có ${\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ suy ra $- {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0$, do đó $- {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0$ hay $x = \frac{1}{4}$ (tmdk).

Vậy giá trị lớn nhất của C là $\frac{1}{4}$ khi $x = \frac{1}{4}$.

c) Ta có $C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)$

Ta thấy $\sqrt x  \ge 0$ với $x \ge 0$ nên $C > 0$ khi $\sqrt x  > 0$ và $1 - \sqrt x  > 0$

$\sqrt x  > 0$ hay $x > 0$

$1 - \sqrt x  > 0$ hay $x < 1$

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có $0 < x < 1$. Vậy $0 < x < 1$ thỏa mãn đề bài.