Giải bài 49 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho biểu thức $B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x > 0$.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị biểu thức B tại $x = 3 - 2\sqrt 2 .$

c) Tìm giá trị của $x \in N*$ để B nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Với $x > 0$, ta có:

$\begin{array}{l}B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \\= \frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{x - 2 - \sqrt x  - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \\= \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}$.

b) Thay $x = 3 - 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}$ (thỏa mãn điều kiện) vào B, ta được:

$B = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} }} \\= \frac{{\left| {\sqrt 2  - 1} \right| - 2}}{{\left| {\sqrt 2  - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt 2  - 1 - 2}}{{\sqrt 2  - 1}} = \frac{{\sqrt 2  - 3}}{{\sqrt 2  - 1}} \\= \frac{{\left( {\sqrt 2  - 3} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}} =  - 1 - 2\sqrt 2$

Vậy $B =  - 1 - 2\sqrt 2$ với $x = 3 - 2\sqrt 2$.

c) $B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x }}$

Với $x > 0$, để B nguyên thì $\frac{2}{{\sqrt x }}$ nguyên, khi đó $\sqrt x$ là ước của 2, mà $\sqrt x  > 0$ nên $\sqrt x  \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Với $\sqrt x  = 1$ suy ra $x = 1$; Với $\sqrt x  = 2$ suy ra $x = 4$

Mà $x \in N*$ và kết hợp với điều kiện xác định. Vậy $x = 1$,$x = 4$ là các giá trị cần tìm.