Giải bài 49 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. ${u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}$

B. ${u_n} = \frac{3}{n}$

C. ${u_n} = {2^n}$

D. ${u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}$

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy ${u_n} > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{2}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{2}{{{3^n}}} = \frac{2}{{{3^n}.3}}.\frac{{{3^n}}}{2} = \frac{1}{3}$.

Do $T < 1$, dãy số đã cho không là dãy số tăng.

b) Ta thấy ${u_n} > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{3}{{n + 1}}:\frac{3}{n} = \frac{3}{{n + 1}}.\frac{n}{3} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}$.

Do $T = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1$, dãy số đã cho không là dãy số tăng.

c) Ta thấy ${u_n} > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2$.

Do $T > 1$, dãy số đã cho là dãy số tăng.

d) Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 2} \right)^{n + 1}} - {\left( { - 2} \right)^n} = {\left( { - 2} \right)^n}\left[ {\left( { - 2} \right) - 1} \right] = \left( { - 3} \right).{\left( { - 2} \right)^n}$

Do với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, ta không thể xác định được dấu của ${\left( { - 2} \right)^n}$, do đó ta không thể kết luận được $H < 0$ hay $H > 0$.

Do đó dãy số đã cho không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Đáp án đúng là C.