Giải bài 48 trang 79 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12x.$

a) Tìm $f'\left( x \right)$và giải bất phương trình $f'\left( x \right) > 0.$

b) Tìm $f''\left( x \right)$và giải phương trình $f''\left( x \right) = 0.$

Lời giải chi tiết

a) $f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12x} \right)^\prime } = {x^2} - x - 12.$

Theo đề bài: $f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x <  - 3\end{array} \right.$

Tập nghiệm của bất phương trình là: $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).$

b) $f''\left( x \right) = {\left( {{x^2} - x - 12} \right)^\prime } = 2x - 1.$

Theo đề bài: $f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$

Nghiệm của phương trình là: $x = \frac{1}{2}.$