Giải Bài 49 trang 83 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE} = 90^\circ \)
Đề bài
Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE} = 90^\circ \)
a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân.
b) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
c) Chứng minh DC = BE
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh: AD = AE suy ra tam giác AED cân tại A.
- Sử dụng tam giác cân và tổng ba góc bằng \({180^o}\) để tính số đo góc của tam giác ADE.
- Chứng minh: \(\Delta B{\rm{D}}C = \Delta CEB(c - g - c)\) suy ra DC = BE.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE} = 90^\circ \) (giả thiết),
AB = AC (giả thiết),
BD = CE (giả thiết).
Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).
Nên tam giác AED cân tại A.
Vậy tam giác AED cân tại A.
b) • Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.
Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC} = 60^\circ \).
Vì AC = CE , \(\widehat {ACE} = 90^\circ \) (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.
Suy ra \(\widehat {CEA} = \widehat {CAE} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Vì AB = BD , \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Ta có \(\widehat {DAE} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 45^\circ + 60^\circ + 45^\circ = 150^\circ \)
• Vì tam giác AED cân tại A nên \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\)
Xét ∆ADE có: \(\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat {DAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {EAD} = 150^\circ \), \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\)
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - 150^\circ }}{2} = 15^\circ \)
Vậy ∆ADE có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = 15^\circ ,\widehat {EAD} = 150^\circ \)
c) Ta có \(\widehat {DBC} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ \) ; \(\widehat {BCE} = \widehat {ACB} + \widehat {ACE} = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ \)
Xét ∆CBD và ∆BCE có:
BC là cạnh chung,
\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {BCE}\) (cùng bằng 150°),
BD = CE (giả thiết),
Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).
Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng)
Vậy DC = BE.