Giải bài 5. 18 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + \sqrt 3 t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.$

a) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (Oxy).

b) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u  = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {3 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = {30^ \circ }$.

b) Vectơ chỉ phương của Oy là $\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,Oy} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow j } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {3 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $\left( {\Delta ,Oy} \right) = {30^ \circ }$.