Giải bài 5. 18 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + \sqrt 3 t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\)

a) Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (Oxy).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {3 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = {30^ \circ }\).

b) Vectơ chỉ phương của Oy là \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,Oy} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow j } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {3 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(\left( {\Delta ,Oy} \right) = {30^ \circ }\).