Giải bài 5.19 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A). a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O); b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và (widehat {MAB} = {60^o}).
Đề bài
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).
a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);
b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và ^MAB=60o.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
+ Chứng minh ΔAOH=ΔBOH(ch−cgv) nên ^AOH=^BOH.
+ Chứng minh ΔAOM=ΔBOM(c−g−c) nên ^MAO=^MBO=90o .
+ Suy ra MB⊥OB tại B. Do đó, MB là tiếp tuyến của (O)
b) + Chứng minh tam giác MAB cân tại M và ^MAB=60o nên tam giác MAB đều, suy ra ^AMB=60o
+ Ta có ^AOB+^OBM+^BMA+^MAO=360o, từ đó tính được góc AOB và số đo cung nhỏ AB.
+ Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB (Sq).
+ Tính được ^AMO=12^AOB=60o.
+ Tam giác MOA vuông tại A nên AM=AO.tan^AMO.
+ Chứng minh SΔAMO=SΔBMO=12OA.AM, từ đó tính diện tích tứ giác AOBM (SAOBM).
+ Diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là: S=SAOBM−Sq.
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
Tam giác AOH và tam giác BOH có:
OH chung, OA=OB, ^OHA=^BHO=90o
nên ΔAOH=ΔBOH(ch−cgv)
nên ^AOH=^BOH hay ^AOM=^BOM.
Tam giác AOM và tam giác BOM có:
OM chung, OA=OB, ^AOM=^BOM
nên ΔAOM=ΔBOM(c−g−c)
nên ^MAO=^MBO=90o .
Do đó, MB⊥OB tại B.
Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).
b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên MA=MB.
Do đó, tam giác MAB cân tại M.
Mà ^MAB=60o nên tam giác MAB đều.
Do đó, ^AMB=60o.
Tứ giác AOBM có:
^AOB+^OBM+^BMA+^MAO=360o
Suy ra:
^AOB=360o−(^OBM+^BMA+^MAO)=360o−(90o+90o+60o)=120o
Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ⌢AB nhỏ =120o.
Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:
Sq=120360.π.32=3π(cm2)
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên ^AOM=12^AOB=60o.
Tam giác MOA vuông tại A nên
AM=AO.tan^AOM=3.tan60o=3√3(cm).
Vì ΔAOM=ΔBOM(cmt)
nên SΔAMO=SΔBMO =12OA.AM=12.3.3√3 =9√32(cm2).
Do đó diện tích tứ giác AOBM là:
SAOBM=2SΔAMO=9√3(cm2).
Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:
S=SAOBM−Sq=9√3−3π(cm2).