Giải bài 5.21 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH; b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A); c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A); d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết (HB = 2cm) và (HC = 4,5cm).
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.
a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;
b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);
c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);
d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết HB=2cm và HC=4,5cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chỉ ra AH⊥BC tại H, H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.
b) + Chứng minh ΔAMB=ΔAHB(c.c.c).
Do đó, ^AMB=^AHB=90o.
+ Chứng minh M thuộc đường tròn (A). Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.
+ Chứng minh ΔANC=ΔAHC(c.c.c).
Do đó, ^ANC=^AHC=90o.
+ Chỉ ra N thuộc đường tròn (A).
+ Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.
c) + Chứng minh ^MAB=^HAB, ^NAC=^HAC, ^HAB+^HAC=90o.
+ Do đó, ^MAB+^HAB+^NAC+^HAC=180o
+ Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng. Vậy MN là đường kính của (A).
d) + Chứng minh BM=BH, CN=CH.
+ Do đó, BM+CN=BH+CH=2+4,5=6,5(cm)
+ Chứng minh ΔHBA∽ nên \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}, từ đó tính được AH, tính được MN.
+ Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang vuông.
+ Diện tích hình thang BMNC là: S = \frac{1}{2}MN\left( {BM + CN} \right).
Lời giải chi tiết
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH \bot BC tại H. Mà H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.
b) Vì M đối xứng với H qua AB nên AM = AH và BM = BH, AB chung nên \Delta AMB = \Delta AHB\left( {c.c.c} \right).
Do đó, \widehat {AMB} = \widehat {AHB} = {90^o}.
Lại có AM = AH nên M thuộc đường tròn (A).
Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.
Vì N đối xứng với H qua AC nên CN = CH và AH = AN, AC chung nên \Delta ANC = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right).
Do đó, \widehat {ANC} = \widehat {AHC} = {90^o}.
Lại có AH = AN nên N thuộc đường tròn (A).
Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.
c) Vì \Delta AMB = \Delta AHB\left( {cmt} \right) nên \widehat {MAB} = \widehat {HAB}.
Vì \Delta ANC = \Delta AHC\left( {cmt} \right) nên \widehat {NAC} = \widehat {HAC}.
Vì AH \bot BC tại H nên \widehat {HAB} + \widehat {HAC} = {90^o}.
Do đó, \widehat {MAB} + \widehat {HAB} + \widehat {NAC} + \widehat {HAC} = 2\left( {\widehat {HAB} + \widehat {HAC}} \right) = {2.90^o} = {180^o}
Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Mà AM = AN\left( { = AH} \right) nên MN là đường kính của (A).
d) Vì MB và BH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của (A) nên BM = BH.
Vì CN và CH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (A) nên CN = CH.
Do đó, BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5\left( {cm} \right).
Ta có:
\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {ACH} + \widehat {ABC}\\\left( { = {{90}^o}} \right) nên \widehat {BAH} = \widehat {ACH}.
Mà \widehat {BHA} = \widehat {CHA} = {90^o} nên \Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)
nên \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}},
suy ra A{H^2} = BH.CH = 4,5.2 = 9.
Suy ra AH = 3cm.
Do đó, MN = 2AH = 6cm.
Ta có: BM \bot MN,CN \bot MN nên BM//NC.
Do đó, tứ giác BMNC là hình thang vuông.
Diện tích hình thang BMNC là:
S = \frac{1}{2}MN\left( {BM + CN} \right) = \frac{1}{2}.6.6,5 = 19,5\left( {c{m^2}} \right).