Giải bài 5 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?
Đề bài
Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?
A. Không có.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu \({Đ_O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.
Lời giải chi tiết
Đáp án đúng là: B
Giả sử (H) là hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính (O; R) và (O’; R).
Gọi I là trung điểm của đoạn OO’.
Suy ra \(O'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( O \right).\)
Gọi A là điểm bất kì trên \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\)
Lấy điểm A’ sao cho I là trung điểm của AA’. Khi đó \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( A \right).\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OAI{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta O'A'I{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\)
Suy ra \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}O'A'\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}R\) nên O’A’ = R hay A’ nằm trên \(\left( {O';{\rm{ }}R} \right).\)
Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ trên hình (H) sao cho \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( A \right).\)
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì trên hình (H), ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua Đ I trên hình (H).
Vì vậy I là tâm đối xứng của hình (H).
Với mỗi điểm M bất kì sao cho \(M{\rm{ }} \ne {\rm{ }}I\), ta luôn có \(MO{\rm{ }} \ne {\rm{ }}MO'.\)
Do đó O’ không phải là ảnh của O qua \({Đ_M}.\)
Vậy hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có 1 tâm đối xứng duy nhất là trung điểm của đoạn nối tâm.
Do đó ta chọn phương án B.