Giải bài 5 trang 75 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC với $BC = a;AC = b;AB = c$. Chứng minh rằng:

$1 + \cos A = \frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)}}{{2bc}}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \Rightarrow \cos A + 1 = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{2bc}}$ (1)

$\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{2bc}} = \frac{{\left( {{b^2} + {c^2} + 2bc} \right) - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{2bc}}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $1 + \cos A = \frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)}}{{2bc}}$ (đpcm)