Giải bài 50 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ , $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ , $AA' = 2a$ , $AC = a$ . Tính khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ .

b) Giữa hai mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {CDD'C'} \right)$ .

c*) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Ta chứng minh $H$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ , từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng $AH$ .

b) Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $DC$ . Do $\left( {ABB'A'} \right)\parallel \left( {DCC'D'} \right)$ , nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$ . Ta chứng minh $I$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$ , từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng $AI$ .

c) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Gọi $E$ là hình chiếu của $O$ trên $A'C$ . Ta chứng minh $OE$ là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng $BD$ và $A'C$ , từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng $OE$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Tam giác $ABC$ đều ( $AB = BC = AC = a$ ) nên ta suy ra $AH \bot BC$ .

Do $BB' \bot \left( {ABCD} \right)$ , ta suy ra $BB' \bot AH$ .

Như vậy, do $AH \bot BC$ , $BB' \bot AH$ nên $AH \bot \left( {BCC'B'} \right)$ , điều này có nghĩa $H$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ . Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left( {BCC'B'} \right)$ là đoạn thẳng $AH$ .

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ , đường cao $AH$ nên $AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left( {BCC'B'} \right)$ là $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

b) Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp, nên $\left( {ABB'A'} \right)\parallel \left( {DCC'D'} \right)$ . Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng này cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$ .

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $DC$ . Tam giác $ADC$ có $AB = DC = AC = a$ nên nó là tam giác đều. Suy ra $AI \bot DC$ và $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

Do $DD' \bot \left( {ABCD} \right)$ , ta suy ra $DD' \bot AI$ . Như vậy, do $AI \bot DC$ , $DD' \bot AI$ nên $AI \bot \left( {DCC'D'} \right)$ . Điều này có nghĩa $I$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$ . Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {DCC'D'} \right)$ , bằng khoảng cách từ $A$ trên mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$ , là đoạn thẳng $AI$ , và bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

c) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD$ và $AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2}$

Do $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ , nên $AA' \bot BD$ . Như vậy, do $AC \bot BD$ , $AA' \bot BD$ nên $\left( {AA'C} \right) \bot BD$ .

Gọi $E$ là hình chiếu của $O$ trên $A'C$ . Vì $OE \subset \left( {AA'C} \right)$ , $\left( {AA'C} \right) \bot BD$ nên $OE \bot BD$ . Như vậy $OE$ là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng $BD$ và $A'C$ , điều này có nghĩa khoảng cách giữa $BD$ và $A'C$ là đoạn thẳng $OE$ .

Tam giác $CEO$ và $CAA'$ có chung góc $C$ và có góc vuông $\widehat {CEO} = \widehat {CAA'}$ nên chúng đồng dạng với nhau. Suy ra $\frac{{OE}}{{AA'}} = \frac{{CO}}{{CA'}} \Rightarrow OE = \frac{{AA'.CO}}{{CA'}}$