Giải bài 6.41 trang 77 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,AC = 12cm\) và \(BC = 15cm.\)
Đề bài
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,AC = 12cm\) và \(BC = 15cm.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 4cm\) và trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = 3cm\) . Gọi \(O\) là giao điểm của \(CM\) và \(BN\) . Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABN ∽ \Delta ACM;\)
b) \(\Delta BMO ∽ \Delta CNO;\)
c) \(\Delta BOC ∽ \Delta MON;\)
d) \(CM\) là tia phân giác của góc \(ACB\) và \(\Delta MBN\) cân tại \(M.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Xét hai tam giác \(ABN\) và tam giác \(ACM\) , ta có:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}} = \frac{3}{4}\)
\(\widehat A\) là góc chung
=> \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) (cạnh-góc-cạnh)
b) Xét hai tam giác \(BMO\) và tam giác \(CNO\) , ta có:
\(\widehat {MBO} = \widehat {NCO}\) (do \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) )
\(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (hai góc đối đỉnh)
=> \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) (góc-góc)
c) Vì \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) , ta có tỉ số đồng dạng:
\(\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{MO}}{{NO}} \Rightarrow \frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)
Xét tam giác \(BOC\) và tam giác \(MON\) , ta có:
\(\frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)
\(\widehat {MOB} = \widehat {CON}\) (hai góc đối đỉnh)
=> \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) (cạnh-góc-cạnh)
d) Xét tam giác \(ABC\) , ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\\\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\\ = > \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\end{array}\)
=> \(CM\) là tia phân giác của tam giác \(ABC\) .
Lại có:
\(\widehat {NCM} = \widehat {MCB}\) (do CM là tia phân giác)
Mà \(\widehat {NCM} = \widehat {MBN}\) (do \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) )
Suy ra \(\widehat {MCB} = \widehat {MBN}\)
Mà \(\widehat {MCB} = \widehat {MNB}\) (do \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) )
Suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {MNB}\)
Vậy tam giác \(MBN\) là tam giác cân tại \(M\) .