Giải bài 6 trang 113 vở thực hành Toán 9 tập 2
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng (AH = 2OM).
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC.
+ Chứng minh ^AON=^AOC2=^ABC, suy ra ^NAO=90o−^AON=90o−^ABC=^DAH.
+ Chứng minh tương tự ta có: ^MCO=90o−^MOC=^DCA
+ Chứng minh ΔNAO∽, suy ra AH = \frac{{AO.DA}}{{AN}} = \frac{{2AO.DA}}{{AC}}.
+ Chứng minh \Delta OMC\backsim \Delta ADC\left( g.g \right) nên 2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.DA}}{{AC}} = AH
Lời giải chi tiết
Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC. Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là phân giác của góc AOC. Vậy \widehat {AON} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {ABC}.
Suy ra \widehat {NAO} = {90^o} - \widehat {AON} = {90^o} - \widehat {ABC} = \widehat {DAH}.
Tương tự \widehat {MCO} = {90^o} - \widehat {MOC} = \widehat {DCA}.
Hai tam giác NAO và DAH có: \widehat {NAO} = \widehat {DAH} (chứng minh trên), \widehat {ANO} = \widehat {ADH} = {90^o}. Do đó, \Delta NAO\backsim \Delta DAH\left( g.g \right). Suy ra \frac{{AO}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{DA}}, hay AH = \frac{{AO.DA}}{{AN}} = \frac{{2AO.DA}}{{AC}}.\left( 1 \right)
Hai tam giác OMC và ADC có: \widehat {MCO} = \widehat {DCA} (chứng minh trên), \widehat {OMC} = \widehat {ADC} = {90^o}.
Do đó, \Delta OMC\backsim \Delta ADC\left( g.g \right). Suy ra \frac{{OM}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{AC}}. Do đó
2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.DA}}{{AC}} = AH (theo (1)).