Giải bài 6 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Người ta quan sát một nhóm người trưởng thành trong 5 năm. Ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc. Sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm và thấy người này tử vong trong 5 năm quan sát, tính xác suất người đó thường xuyên hút thuốc.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố “Một người tử vong trong 5 năm quan sát” và $B$ là biến cố “Một người thường xuyên hút thuốc”.

Do ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc nên ta có $P\left( B \right) = 0,3$ và $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7$.

Gọi tỉ lệ tử vong trong số những người không thường xuyên hút thuốc là $a\left( {0 \le a \le 1} \right)$.

Do ở thời điểm sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại nên $P\left( {A|\overline B } \right) = a$và $P\left( {A|B} \right) = 3a$.

Theo công thức xác suất toàn phần, tỉ lệ một người tử vong trong 5 năm quan sát là:

$P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0,3.3a + 0,7.a = 1,6a$.

Theo công thức Bayes, xác suất một người thường xuyên hút thuốc, biết rằng người đó tử vong trong 5 năm quan sát là

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.3{\rm{a}}}}{{1,6{\rm{a}}}} = 0,5625$.