Giải bài 6 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hai vectơ \(\overrightarrow {\rm{a}} \) và \(\overrightarrow {\rm{b}} \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^ \circ }\). Tính độ dài của vectơ \(3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b \).
Đề bài
Cho hai vectơ \(\overrightarrow {\rm{a}} \) và \(\overrightarrow {\rm{b}} \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^ \circ }\). Tính độ dài của vectơ \(3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
‒ Tính \({\left( {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right)^2}\), sau đó tính \(\left| {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right|\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {3\overrightarrow {\rm{a}} } \right)^2} - 2.3\overrightarrow {\rm{a}} .2\overrightarrow b + {\left( {2\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {\rm{a}} } \right)^2} - 12\overrightarrow {\rm{a}} .\overrightarrow b + 4{\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\\ = 9{\left| {\overrightarrow {\rm{a}} } \right|^2} - 12\left| {\overrightarrow {\rm{a}} } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 9.{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 12.2\sqrt 3 .3.\cos {30^ \circ } + {4.3^2} = 36\end{array}\)
Do đó \(\left| {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {36} = 6\).