Giải bài 6 trang 63 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và cho biết $\widehat {BAD} = \widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = {60^ \circ }$. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$;

b) $\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC}$;

c) $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC}$.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = AB.AD.\cos \widehat {BA{\rm{D}}} = a.a.\cos {60^ \circ } = \frac{{{a^2}}}{2}$.

b) $\widehat {A{\rm{D}}C} = {180^ \circ } - \widehat {BAD} = {120^ \circ }$

$\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC}  = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} } \right) = DA.DC.\cos \widehat {A{\rm{D}}C} = a.a.\cos {120^ \circ } =  - \frac{{{a^2}}}{2}$.

c) $\widehat {A{\rm{D}}C} = {180^ \circ } - \widehat {BAD} = {120^ \circ }$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AA'} .\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} \\ = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AB} } \right) + \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right)\\ = AA'.AB.\cos \widehat {BAA'} + AA'.AD.\cos \widehat {DAA'} = a.a.\cos {60^ \circ } + a.a.\cos {60^ \circ } = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = {a^2}\end{array}$.