Giải bài 6 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $DA = 2,DC = 3,DD = 2$.

Tính khoảng cách từ đỉnh $B'$ đến mặt phẳng $\left( {BA'C'} \right)$.

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng $DA,DC,DD'$ đôi một vuông góc.

Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ thoả mãn $D\left( {0;0;0} \right),A\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;3;0} \right),D'\left( {0;0;2} \right)$.

Khi đó $B\left( {2;3;0} \right),B'\left( {2;3;2} \right),A'\left( {2;0;2} \right),C'\left( {0;3;2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {BA'}  = \left( {0; - 3;2} \right),\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;0;2} \right)$.

Khi đó, $\left[ {\overrightarrow {BA'} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right).2 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 0.2;0.0 - \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 6; - 4; - 6} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {BA'C'} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {BA'C'} \right)$ là:

$- 6\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y - 3} \right) - 6\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6x - 4y - 6{\rm{z}} + 24 = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} + 2y + 3{\rm{z}} - 12 = 0$.

Khi đó khoảng cách từ điểm $B'$ đến mặt phẳng $\left( {BA'C'} \right)$ bằng:

$d\left( {B',\left( {BA'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 2.3 + 3.2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}$.