Giải bài 6 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Ta đã biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\). a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của đường tiệm cận. b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). Tìm các tung độ \(y\left( {{x_M}} \right)\) và \(y\left( {{x_{M'}}} \right)\). Từ đó, chứng minh rằng hai đ
Đề bài
Ta đã biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).
a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của đường tiệm cận.
b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). Tìm các tung độ \(y\left( {{x_M}} \right)\) và \(y\left( {{x_{M'}}} \right)\).
Từ đó, chứng minh rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\), ta chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\) nên giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\left( { - 1;2} \right)\).
b) Ta có: \({x_M} = {x_I} - t = - 1 - t \Rightarrow {y_M} = \frac{{2{{\rm{x}}_M} - 1}}{{{x_M} + 1}} = \frac{{2\left( { - 1 - t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 - t} \right) + 1}} = \frac{{2t + 3}}{t}\)
\({x_{M'}} = {x_I} + t = - 1 + t \Rightarrow {y_{M'}} = \frac{{2{{\rm{x}}_{M'}} - 1}}{{{x_{M'}} + 1}} = \frac{{2\left( { - 1 + t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 + t} \right) + 1}} = \frac{{2t - 3}}{t}\)
Vì :
\(\begin{array}{l}{x_M} + {x_{M'}} = \left( {{x_I} - t} \right) + \left( {{x_I} + t} \right) = 2{x_I};\\{y_M} + {y_{M'}} = \frac{{2t + 3}}{t} + \frac{{2t - 3}}{t} = \frac{{\left( {2t + 3} \right) + \left( {2t - 3} \right)}}{t} = 4 = 2{y_I}\end{array}\)
nên \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
Vậy hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).