Giải bài 6 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).

Bước 2: Làm tương tự bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{{{4^2}}}$)

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi ${3^{n - 1}}$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{{{4^n}}}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Lời giải chi tiết

Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi là:

$S = \frac{1}{4} + 3.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + {3^2}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} + ... + {3^n}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n + 1}} + ... = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{3}{4} + \frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} + ...$

Tổng trên là tổng của các số hạng lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{4}$, công bội $q = \frac{3}{4}$. Do đó, $S = \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - \frac{3}{4}}} = 1$.