Giải bài 67 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho bốn điểm A(0;1;1),B(−1;0;3),C(0;0;2) và D(1;1;−2). a) Tìm toạ độ của các vectơ →AB,→AC,[→AB,→AC]. b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\
Đề bài
Cho bốn điểm A(0;1;1),B(−1;0;3),C(0;0;2) và D(1;1;−2).
a) Tìm toạ độ của các vectơ →AB,→AC,[→AB,→AC].
b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
d) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng toạ độ của vectơ →AB=(xB−xA;yB−yA;zB−zA).
‒ Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ →u=(x1;y1;z1) và →v=(x2;y2;z2):
[→u,→v]=(y1z2−y2z1;z1x2−z2x1;x1y2−x2y1).
‒ Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) là: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct.
‒ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x0;y0;z0) và nhận →n=(A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: Ax+By+Cz+D=0 với D=−Ax0−By0−Cz0.
‒ Để chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng, ta chứng minh điểm D không nằm trên mặt phẳng (ABC).
‒ Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0:
d(M0;(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2.
Lời giải chi tiết
a) →AB=(−1−0;0−1;3−1)=(−1;−1;2),→AC=(0−0;0−1;2−1)=(0;−1;1)
[→AB,→AC]=(−1.1−2.(−1);2.0−(−1).1;(−1).(−1)−0.(−1))=(1;1;1).
b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0;1;1) và nhận →AB=(−1;−1;2) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: {x=−ty=1−tz=1+2t.
Đường thẳng AC đi qua điểm A(0;1;1) và nhận →AC=(0;−1;1) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: {x=0y=1−tz=1+t.
c) Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(0;1;1) và nhận [→AB,→AC]=(1;1;1) làm vectơ pháp tuyến là:
1(x−0)+1(y−1)+1(z−1)=0⇔x+y+z−2=0.
d) Ta có: 1+1+(−2)−2=−2≠0 nên điểm D không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Vậy bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) bằng:
d(D;(ABC))=|1+1+(−2)−2|√12+12+12=2√33.