Giải bài 7. 16 trang 47 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử  tâm đường tròn là điểm $I\left( {a;b} \right)$. Ta có: $IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}$

Vì $I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}$ nên: $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {6 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - b} \right)^2} = {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( { - 5 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.$

Vậy $I\left( {1; - 2} \right)$ và $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2}}  = 5$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)$

$A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)$ thuộc (C) nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {36 + 4 + 12a - 4b + c = 0}\\ {16 + 4 + 8a + 4b + c = 0}\\ {25 + 25 + 10a - 10b + c = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {12a - 4b + c = - 40}\\ {8a + 4b + c = - 20}\\ {10a - 10b + c = - 50} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = - 1}\\ {b = 2} \,\rm{(thỏa mãn)}\\ {c = - 20} \end{array}} \right.$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: ${x^2} + {y^2} - 2x + 4y -20 = 0$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$