Giải bài 7.37 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Một cột trụ hình hypebol (H.736), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất
Đề bài
Một cột trụ hình hypebol (H.736), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất
chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ).
Phương trình hypebol (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (với a, b>0)
Theo bài ra ta có: A 1 A 2 = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m.
(H) cắt trục hoành tại hai điểm A 1 , A 2 , ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A 1 (− 0,4; 0) và A 2 (0,4; 0).
Thay tọa độ A 2 vào phương trình (H) ta được: \(\frac{{0,{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Suy ra a=0,4 (vì a>0)
Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3).
(H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên: \(\frac{{0,{5^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
⇔ b 2 = 16 ⇒ b = 4 (do b > 0).
Vậy phương trình (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\) hay \(\frac{{{x^2}}}{{0,16}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Gọi F là điểm thuộc hypebol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2, ta cần tìm hoành độ của F.
Thay y = 2 vào phương trình (H) ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{0,16}} - \frac{{{2^2}}}{{16}} = 1\)
⇔ x 2 = 0,2 ⇔ x ≈ ± 0,45.
Vậy độ rộng của cột là: 0,45.2=0,9m (độ rộng là khoảng cách nên phải dương).