Giải bài 7 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hàng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi ${T_n}(n \ge 1)$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ $n + 1$.

a) Tính ${T_1},{T_2},{T_3}$.

b) Dự đoán công thức tính ${T_n}$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Gợi ý: Lưu ý công thức ở Thực hành 4.

Lời giải chi tiết

a) ${T_1}$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2, do đó: ${T_1} = a + a.r + a = a\left( {\left( {1 + r} \right) + 1} \right)$

${T_2} = {T_1}(1 + r) + a = a\left( {\left( {1 + r} \right) + 1} \right)\left( {r + 1} \right) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)$

${T_3} = {T_2}(1 + r) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\left( {r + 1} \right) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^3} + {{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)$

b) Từ a) ta dự đoán rằng

${T_n} = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^n} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right) = a.\frac{{1 - {{\left( {1 + r} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \left( {1 + r} \right)}} = a.\frac{{1 - {{\left( {1 + r} \right)}^{n + 1}}}}{r}$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có ${T_1} = a\left( {\left( {1 + r} \right) + 1} \right)$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có:

${T_k} = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh

${T_{k + 1}} = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^{k + 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = {T_k}(1 + r) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\left( {1 + r} \right) + a\\ = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^{k + 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\end{array}$

Vậy công thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất công thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.