Giải bài 7 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Mỗi tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Số tập hợp con có 0 phần tử là: $1 = C_{12}^0$ (tập rỗng)

Số tập hợp con có 1 phần tử là: $C_{12}^1$

Số tập hợp con có k phần tử là: $C_{12}^k$

$\Rightarrow$Số tập hợp con của tập hợp có 12 phần tử là: $C_{12}^0 + C_{12}^1 + C_{12}^2 + ... + C_{12}^{12}$

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left( {1 + x} \right)^{12}} = C_{12}^0 + C_{12}^1x + C_{12}^2{x^2} + ... + C_{12}^{12}{x^{12}}$

Thay $x = 1$ ta được $C_{12}^0 + C_{12}^1 + C_{12}^2 + ... + C_{12}^{12} = {2^{12}} = 4096$

Cách 2:

Ta chứng minh bằng quy nạp công thức: Tập hợp A có n phần tử thì có ${2^n}$ tập con.

Bước 1: Với $n = 0$ ta có A là tập rỗng có duy nhất $1 = {2^0}$ tập con là tập rỗng.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $n = 0$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có:

Tập hợp A có k phần tử thì có ${2^k}$ tập con

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh

Tập hợp A có $k + 1$ phần tử thì có ${2^{k + 1}}$ tập con

Thật vậy chọn ra k phần tử của A, từ đó tạo thành ${2^k}$ tập con theo giả thiết quy nạp. Ngoài ra, với mỗi tập trong  ${2^k}$tập này, ta bổ sung thêm phần tử thứ k+1 còn lại vào mỗi tập. Ta thu được thêm ${2^k}$tập nữa. Do đó ta được tất cả ${2^k} + {2^k} = {2.2^k} = {2^{k + 1}}$ tập con

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n \in \mathbb{N}$

Như vậy tập có 12 phần tử thì có tất cả ${2^{12}} = 4096$ tập con.