Giải bài 8 trang 61 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$ (Hình 10). a) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông. b) Tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$. c) $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^ \circ }$. d) $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} = - {a^2}$.

Lời giải chi tiết

$S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên tứ giác $ABCD$ là hình vuông. Vậy a) đúng.

$ABCD$ là hình vuông nên $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2$.

Tam giác $SAC$ có: $S{A^2} + S{C^2} = 2{{\rm{a}}^2} = A{C^2}$.

Vậy tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$. Vậy b) đúng.

$\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right)}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\\ &  = \frac{{ - a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {SAC}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{{ - a.a\sqrt 2 .\cos {{45}^ \circ }}}{{a.a\sqrt 2 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {135^ \circ }$. Vậy c) sai.

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AC}=-\left| \overrightarrow{AS} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{AC} \right)=-a.a\sqrt{2}.\cos \widehat{SAC}=-a.a\sqrt{2}.\cos {{45}^{\circ }}=-{{a}^{2}}$

Vậy d) đúng.

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ