Giải bài 8 trang 66 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ có đồ thị $\left( C \right)$.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng $- 1.$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có tung độ bằng $8.$

Lời giải chi tiết

Tại ${x_0} \in \mathbb{R}$ tùy ý, gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0}.$

$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} - {x_0}^3 = 3{x_0}^2.\Delta x + 3{x_0}{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{3{x_0}^2.\Delta x + 3{x_0}{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^3}}}{{\Delta x}} = 3{x_0}^2 + 3{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x_0}^2 + 3{x_0}.\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2}} \right) = 3{x_0}^2.\end{array}$

$\Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2}.$

a) Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng $- 1.$

$\Rightarrow {x_0} =  - 1;{\rm{ }}{y_0} =  - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 1} \right).$

$\Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = 3{\left( { - 1} \right)^2} = 3.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { - 1; - 1} \right)$ là:

$y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right) + f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2.$

b) Gọi $N\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng $8.$

$\Rightarrow {y_0} = 8 \Rightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow N\left( {2;8} \right).$

$\Rightarrow f'\left( 2 \right) = 3.{\left( 2 \right)^2} = 12.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( {2;8} \right)$ là:

$y = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + f\left( 2 \right) \Leftrightarrow y = 12\left( {x - 2} \right) + 8 \Leftrightarrow y = 12x - 16.$