Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ .

b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

$= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$, ta suy ra

${1^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có: ${\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

$= {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

Do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$, ta suy ra

$1 = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Bài toán được chứng minh.