Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

SBT Toán 11 - Giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 CTST


Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\) b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

Đề bài

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính tổng: Cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết

a) Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{{ - 1}}{5}\) nên \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{6}\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)\( = 2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + ...} \right]\)

Tổng \(1 + \frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + ...\) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + ...} \right] = 2.\frac{1}{{1 - \frac{2}{3}}} = 6\)


Cùng chủ đề:

Giải bài 8 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 8 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 63 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải bài 8 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 100 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2