Giải bài 8 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2 - x\;\;\;khi\;x < 1\\{x^2} + x\;khi\;x \ge 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2}\;khi\;x < 1\\ - {x^2} + a\;khi\;x \ge 1\end{array} \right.\). Tìm giá trị của tham số a sao cho \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
Đề bài
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2 - x\;\;\;khi\;x < 1\\{x^2} + x\;khi\;x \ge 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2}\;khi\;x < 1\\ - {x^2} + a\;khi\;x \ge 1\end{array} \right.\).
Tìm giá trị của tham số a sao cho \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về tổng của hàm số liên tục để tìm a, b: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó, hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
+ Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(h\left( x \right) \) \( = f\left( x \right) + g\left( x \right) \) \( = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + x + 2\;\;khi\;x < 1\\\;\;\;\;\;\;x + a\,\,\,\,\,\,\;\,khi\;x \ge 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + a} \right) \) \( = 1 + a\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - {x^2} + x + 2} \right) \) \( = - {1^2} + 1 + 2 \) \( = 2\).
\(h\left( 1 \right) \) \( = 1 + a\)
Để \(h\left( x \right) \) \( = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x \) \( = 1\) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) \) \( = h\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + a \) \( = 2 \Leftrightarrow a \) \( = 1\)