Giải bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hàm số f(x)={x2−9|x+3|khix≠−3akhix=−3 a) Tìm lim. b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = - 3.
Đề bài
Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x + 3} \right|}}\;khi\;x \ne - 3\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\,khi\;x = - 3\end{array} \right.
a) Tìm \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right).
b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = - 3.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M, \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M} (với M \ne 0)
Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g\left( x \right) = M: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M, \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M} (với M \ne 0)
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c (với c là hằng số)
b) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên khoảng K và {x_0} \in K. Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là liên tục tại điểm {x_0} nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = - 6
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 9}}{{ - x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{ - \left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \left( {3 - x} \right) = 6
Do đó, \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = - 6 - 6 = - 12
b) Theo a ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = - 6,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = 6 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right). Do đó, không tồn tại giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right). Vậy không có giá trị nào của a để hàm số f(x) liên tục.