Giải bài 9.38 trang 60 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho A’, B’, C’, D’, E’, F’ là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là một lục giác đều.
Đề bài
Cho A’, B’, C’, D’, E’, F’ là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là một lục giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh $\Delta F’AA’=\Delta A’BB’\left( c.g.c \right)$, suy ra \(F'A' = A'B'\).
+ Tương tự ta có: \(A'B' = B'C' = C'D' = D'E' = E'F' = F'A'\) (1)
+ Tính được \(\widehat {F'AA'} = \widehat {A'BB'} = \frac{1}{2}.\frac{4}{6}{.360^o} = {120^o}\)
+ Ta có: \(\widehat {F'A'B'} = {180^o} - \widehat {F'A'A} - \widehat {B'A'B} = {120^o}\)
+ Chứng minh tương tự ta có: các góc còn lại của lục giác A’B’C’D’E’F’ bằng \({120^o}\) (2).
+ Từ (1) và (2) suy ra A’B’C’D’E’F’ là một lục giác đều.
Lời giải chi tiết
Tam giác F’AA’ và A’BB’ có:
\(AF' = \frac{{AF}}{2} = \frac{{AB}}{2} = BA'\),
\(AA' = \frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{2} = BB'\),
\(\widehat {F'AA'} = \widehat {FAB} = \widehat {ABC} = \widehat {A'BB'}\)
Do đó, $\Delta F’AA’=\Delta A’BB’\left( c.g.c \right)$, suy ra \(F'A' = A'B'\).
Chứng minh tương tự ta có: \(A'B' = B'C' = C'D' = D'E' = E'F' = F'A'\) (1)
Vì lục giác đều ABCDEF nội tiếp một đường tròn và mỗi góc của lục giác đều chắn một cung bằng \(\frac{4}{6}\) đường tròn đó.
Do đó, \(\widehat {F'AA'} = \widehat {A'BB'} = \frac{1}{2}.\frac{4}{6}{.360^o} = {120^o}\).
Ta có:
\(\widehat {F'A'B'} = {180^o} - \widehat {F'A'A} - \widehat {B'A'B} \\= {180^o} - \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {F'AA'}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{{180}^o} - \widehat {A'BB'}} \right) \\= {120^o}\)
Tương tự ta có các góc còn lại của lục giác A’B’C’D’E’F’ bằng \({120^o}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có: Lục giác A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.