Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy không là hình thang. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Trên $SO$ lấy điểm $I$ sao cho $SI = 2IO$.

a) Xác định các giao điểm $M$, $N$ lần lượt của $SA$, $SD$ với mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$.

b*) Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$, $BC$ và $MN$ đồng quy.

Lời giải chi tiết

a)

Giao điểm $M$ của $SA$ và $\left( {IBC} \right)$ :

Ta nhận xét rằng $I \in SO \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow CI \subset \left( {SAC} \right)$.

Trên mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $\left\{ M \right\} = CI \cap SA$.

Do $IC \subset \left( {IBC} \right)$, nên $\left\{ M \right\} = \left( {IBC} \right) \cap SA$.

Vậy $M$ là giao điểm của $\left( {IBC} \right)$ và $SA$.

Giao điểm $N$ của $SD$ và $\left( {IBC} \right)$ :

Ta nhận xét rằng $I \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow BI \subset \left( {SBD} \right)$.

Trên mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $\left\{ N \right\} = BI \cap SD$.

Do $IB \subset \left( {IBC} \right)$, nên $\left\{ N \right\} = \left( {IBC} \right) \cap SD$.

Vậy $N$ là giao điểm của $\left( {IBC} \right)$ và $SD$.

b) Trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAD} \right)\\M \in \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l}N \in SD \subset \left( {SAD} \right)\\N \in \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

Vậy giao tuyến của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {IBC} \right)$ là đường thẳng $MN$.

Do $AD \in \left( {SAD} \right)$, $BC \in \left( {IBC} \right)$, $\left\{ K \right\} = AD \cap BC$, ta suy ra $K$ nằm trên giao tuyến của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {IBC} \right)$, tức là $K \in MN$.

Vậy ba đường thẳng $AD$, $BC$, $MN$ cắt nhau tại $K$.