Giải bài 9 trang 96 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = f(x) = a{x^2} + bx + c$ với đồ thị là parabol (P) có đỉnh $I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)$ và đi qua điểm $A(1;2)$

a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng $y = a{(x - h)^2} + k$, tron đó I(h;k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b) Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$

c) Giải bất phương trình $f(x) \ge 0$

Lời giải chi tiết

a) Parabol: $y = a{(x - h)^2} + k$ với $I(h;k) = \left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)$ là tọa độ đỉnh.

$\Rightarrow y = a{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}$

(P) đi qua $A(1;2)$ nên $2 = a{\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1$

$\Rightarrow y = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow y = {x^2} - 5x + 6$

Vậy parabol đó là $y = {x^2} - 5x + 6$

b) Vẽ parabol $y = {x^2} - 5x + 6$

+ Đỉnh $I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)$

+ Giao với Oy tại điểm $(0;6)$

+ Giao với Ox tại điểm $(3;0)$ và $(2;0)$

+ Trục đối xứng $x = \frac{5}{2}$. Điểm đối xứng với điểm $(0;6)$ qua trục đối xứng có tọa độ $(5;6)$

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right)$

c) $f(x) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0$

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có$y \ge 0$ ứng với hoành độ $x \in ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )$

Do đó tập nghiệm của BPT $f(x) \ge 0$ là $S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) \ge 0\end{array}$

Do đó $x - 2$ và $x - 3$ cùng dấu. Mà $x - 2 > x - 3\;\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.$

Tập nghiệm của BPT là $S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )$