Giải bài tập 1. 10 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) $y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4$ trên đoạn $[ - 4;1]$

b) $y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2$ trên khoảng $( - \infty ;0)$

c) $y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}$ trên nửa khoảng $[2;6)$

d) $y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}}$

e) $y = f(x) = {e^x} - x$ trên đoạn $[ - 1;2]$

f) $y = f(x) = x\ln x$ trên đoạn $[{e^{ - 2}};e]$

Lời giải chi tiết

a) $y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4$ trên đoạn $[ - 4;1]$

Hàm số trên xác định trên R

Ta có $f'(x) = {x^2} + 4x + 3$

Xét $f'(x) = 0$

$\Rightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số $y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4$ đạt GTLN trên đoạn $[ - 4;1]$ tại x = 1 khi đó y = $\frac{4}{3}$

Hàm số $y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4$ đạt GTNN trên đoạn $[ - 4;1]$ tại x = -4 và x= -1 khi đó y = $\frac{{ - 16}}{3}$

b) $y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2$ trên khoảng $( - \infty ;0)$

Hàm số trên xác định trên R/{0}

Ta có $f'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}$

Xét $f'(x) = 0$

$\Rightarrow {x^2} - 1 = 0$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số $y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2$ đạt GTLN trên khoảng $( - \infty ;0)$ tại x=-1 khi đó y=-4

c) $y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}$ trên nửa khoảng $[2;6)$

Hàm số xác định trên R/$\left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$

Ta có $f'(x) = \frac{1}{{{{(2x - 3)}^2}}}$

Vì $f'(x) > 0$ với $x \in R/\left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$

Nên hàm số luôn đồng biến với $x \in R/\left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$

Khi đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}$ đạt GTNN trên nửa khoảng $[2;6)$ tại x = 2 khi đó y = 0

d) $y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}}$

Hàm số xác định với $\begin{array}{l}x \in [ - 2;2]\\\end{array}$

Ta có $f'(x) = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}$

Xét $f'(x) = 0$$\Rightarrow x = 0$

Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm sô $y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}}$ đạt GTLN tại x = 0 khi đó y =2

Hàm sô $y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}}$ đạt GTNN tại x = 2 và x= -2 khi đó y =2

e) $y = f(x) = {e^x} - x$ trên khoảng $[ - 1;2]$

Hàm số xác định trên R

Ta có $f'(x) = {e^x} - 1$

Xét $f'(x) = 0$

$\Rightarrow {e^x} - 1 = 0$

$\Rightarrow x = 0$

Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hàm số$y = f(x) = {e^x} - x$ đạt GTNN trên khoảng$[ - 1;2]$ tại x=0 khi đó y=0

Hàm số$y = f(x) = {e^x} - x$ đạt GTNN trên khoảng$[ - 1;2]$ tại x=2 khi đó y=5,9

f) $y = f(x) = x\ln x$ trên khoảng $[{e^{ - 2}};e]$

Hàm số trên xác định với $x \in \left( {0; + \infty } \right)$

Ta có $f'(x) = \ln x + 1$

Xét $f'(x) = \ln x + 1$ $\Rightarrow x = {e^{ - 1}}$

Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số$y = f(x) = x\ln x$ đạt GTLN trên khoảng $[{e^{ - 2}};e]$ tại x=e khi đó y=e

Hàm số$y = f(x) = x\ln x$ đạt GTLN trên khoảng $[{e^{ - 2}};e]$ tại x= ${e^{ - 1}}$ khi đó y= $- {e^{ - 1}}$