Giải bài tập 1.18 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) y=3−x2x+1; b) y=2x2+x−1x+2.
Đề bài
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) y=3−x2x+1; b) y=2x2+x−1x+2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng y=y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng x = {x_0} gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty
Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b\left( {a \ne 0} \right) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0 hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0.
Lời giải chi tiết
a) Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}; \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}
Do đó, đường thẳng y = \frac{{ - 1}}{2} là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}.
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = + \infty
Do đó, đường thẳng x = \frac{{ - 1}}{2} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}.
b) Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] = - \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] = + \infty
Do đó, đồ thị hàm số y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} không có tiệm cận ngang.
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = + \infty
Do đó, đồ thị hàm số y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} có tiệm cận đứng là x = - 2
Ta có: y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = 2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}} - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}} - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0
Do đó, đồ thị hàm số y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} có tiệm cận xiên là: y = 2x - 3.