Giải bài tập 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) y=3x−2x+1; b) y=x2+2x−12x−1.
Đề bài
Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) y=3x−2x+1; b) y=x2+2x−12x−1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng y=y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}.
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng x = {x_0} gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty
Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b\left( {a \ne 0} \right) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0 hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = + \infty
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} là đường thẳng x = - 1
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3; \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} đường thẳng y = 3.
b) Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = + \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = - \infty
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} là đường thẳng x = \frac{1}{2}.
Ta có: y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}}
Do đó, \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0, \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} là đường thẳng y = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = - \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = + \infty nên đồ thị hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} không có tiệm cận ngang.