Giải bài tập 13 trang 129 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC (left( {AB < AC} right)) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng: a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp. b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
Đề bài
Cho tam giác ABC (AB<AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:
a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tam giác IFB vuông tại F, tam giác BID vuông tại D, tam giác BXI vuông tại X nên 5 điểm I, B, D, F, X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, tứ giác DBFX nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có tứ giác DCEY là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác XYCB nội tiếp nên ^YXC=^YBC
+ Chứng minh ^FXB=^FDB.
+ Chứng minh BI là trung trực của DF. Suy ra, BI⊥FD. Do đó, ^YBC+^FDB=90o
+ Chứng minh ^FXB+^YXC=90o
+ Chứng minh ^FXY=^FXB+^YXC+^BXC=180o nên 3 điểm F, X, Y thẳng hàng.
+ Chứng minh tương tự ta có: 3 điểm X, Y, E thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Vì ID, IE, IF là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên IF⊥BF,ID⊥BC,IE⊥AC
Do đó, ^IFB=^IDB=^IDC=^IEC=90o
Suy ra, ΔIFB vuông tại F, ΔBID vuông tại D nên 4 điểm I, B, D, F thuộc đường tròn đường kính BI.
ΔBXI vuông tại X nên X thuộc đường tròn đường kính BI.
Do đó, 5 điểm I, B, D, F, X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, tứ giác DBFX nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có: tứ giác DCEY là tứ giác nội tiếp.
b) Vì ΔBXC vuông tại X, ΔBYC vuông tại Y nên 4 điểm B, X, Y, C thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó, ^YXC=^YBC (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung YC).
Xét đường tròn đường kính BI có: ^FXB=^FDB (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung BF).
Vì BF và BD là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên BF=BD nên B thuộc đường trung trực của DF.
Lại có: IF=ID (bán kính đường tròn (I)) nên I thuộc đường trung trực của DF.
Do đó, BI là trung trực của DF. Suy ra, BI⊥FD. Do đó, ^YBC+^FDB=90o (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có: ^FXB+^YXC=90o
Do đó, ^FXY=^FXB+^YXC+^BXC=90o+90o=180o. Do đó, 3 điểm F, X, Y thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có: 3 điểm X, Y, E thẳng hàng.
Vậy X, Y, E, F thẳng hàng.